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思想:
DFS
。- 从小到大依次枚举所有的数显然不现实,因此考虑按位枚举。
- 枚举从最高位开始,之后枚举每一位的数,直到达到指定位数为止。
- 枚举每一位后,需要判断当前位的数和高位数的组合数是否为质数,只有如此才能满足条件。
- 举例说明对于 $7331$ 的枚举过程:
- 第一位为 $7$,是质数,枚举下一位;
- 第二位为 $3$,和高位数组合为 $73$ 是质数,枚举下一位;
- 第三位为 $3$,和高位数组合为 $733$ 是质数,枚举下一位;
- 第四位为 $1$,和高位数组合为 $7331$ 是质数,达到了位数条件即为所求。
- 由上述例子可知,最高位必定取值为 $\set{ 2, 3, 5, 7 }$,且后续添加的数不能为偶数(从 $1$ 枚举到 $9$ 后续再判断也可以)。
- 因此,递归的每一层,枚举剩余位从 $0$ 开始枚举到 $9$ 与高位数组合判断。
- 若组合数为质数,则递归到下一层,否则跳过。
- 最终满足的组合数直接输出即可。
代码1(数组存方案版):
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int pos[] = {2, 3, 5, 7}; //最高位必为其中之一
int add[] = {1, 3, 5, 7, 9};
int ans[10]; // 存储组合数的每一位
bool is_prime(int x){ // 判断是否为质数
if(x < 2) return 0;
for(int i = 2; i <= x / i; i ++){
if(x % i == 0) return 0;
}
return 1;
}
int sum(int u, int x){ // 求高位数的和
int t = 0;
for(int i = 0; i < u; i ++){ // 循环叠加组合高位数
t = t * 10 + ans[i];
}
return t * 10 + x;
}
void dfs(int u){
if(u == n){ // 满足位数输出
for(int i = 0; i < u; i ++) cout << ans[i];
cout << endl;
return ;
}
for(int i = 0; i < 5; i ++){
if(is_prime(sum(u, add[i]))){ // 满足和高位数组合为质数
ans[u] = add[i]; // 将当前位记录
dfs(u + 1); // 枚举下一位
}
}
}
void solve(){
cin >> n;
for(int i = 0; i < 4; i ++){
ans[0] = pos[i]; // 最高位
dfs(1); // 从最高位的下一位开始枚举
}
}
int main(){
solve();
return 0;
}
代码2(优化空间版):
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int pos[] = {2, 3, 5, 7};
int add[] = {1, 3, 5, 7, 9};
bool is_prime(int x){
if(x < 2) return 0;
for(int i = 2; i <= x / i; i ++){
if(x % i == 0) return 0;
}
return 1;
}
void dfs(int u, int ans){ // 将答案直接用 ans 表示
if(u == n){
cout << ans << endl;
return ;
}
for(int i = 0; i < 5; i ++){
int t = ans * 10 + add[i]; // 和高位数的组合数
if(is_prime(t)) dfs(u + 1, t); // 满足为质数递归枚举下一位
}
}
void solve(){
cin >> n;
for(int i = 0; i < 4; i ++) dfs(1, pos[i]); // 最高位从 pos[i] 开始,即 ans = pos[i]
}
int main(){
solve();
return 0;
}