A. Two 0-1 Sequences

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题目大意

Origional Link

• 给定只包含$0$和$1$的字符串$a$和$b$
• 对$a$进行操作：
  • 将$a_2 = min(a_1,a_2)$，并删除$a_1$，使得$a_2$变为新的$a_1$
  • 将$a_2 = max(a_1,a_2)$，并删除$a_1$，使得$a_2$变为新的$a_1$
• 上述操作不限次数，求最终是否可以使得$a=b$

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思想

• 由于我们只能对a[1], a[2]进行操作

• 观察string a, b，发现：

  • 先将a和b的最左端对齐

  • a = "00100101"
    b =     "1101"
    
    				
    
    					
    				
    				
    
    					
    				
    				
    
    					
    				
    				
    
    					
    				
    			

  • 与b[0]对其的a[4]不相等，b[0]之后对齐的与a[4]之后的元素均相等

  • 若使得a == b，则a[4]之前的元素中，必然存在某元素a[i] == b[0]，才可通过相关操作使得a[4] == b[0]

• 由此可知，我们设b[0]与a[k]对齐

• 从a[k + 1]开始构造a的字串s1，从b[1]开始构造b的字串s2

• 若s1 == s2 ：

  • 若b[0] == a[k]说明必然可以使得a == b
  • 若b[0] != a[k]，则当k之前存在a[i] == b[0]时可以使得a == b，反之不行

• 若s1 != s2，则无论如何操作都无法使得a == b

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代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
void solve(){
 
    int n, m;
 
    cin >> n >> m;
 
    string a, b;
    cin >> a >> b;
 
    int k = a.size() - b.size();  //对其的位置
 
    string s1 = a.substr(k + 1,b.size() - 1);
    string s2 = b.substr(1,b.size() - 1);
 
    if(s1 == s2){
 
        int flag = 0;
 
        if(a.rfind(b[0], k) != -1) flag = 1;
 
        if(flag) cout << "YES" << endl;
        else cout << "NO" << endl;
 
    }
    else cout << "NO" << endl;
 
}
 
int main(){
 
    int _;
    cin >> _;
    while(_ --){
        solve();
    }
 
//  solve();
 
    return 0;
 
}

				

					
				
				

					
				
				

					
				
				

					
				
			

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B. Luke is a Foodie

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题目大意

Origional Link

• 对于$a_i$和固定的$x$
• 有可以变成任意整数的$v$，使得$|v - a_i|\le x$
• 遍历数组$a$，求$v$最小变化的次数

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思想

• 由$|v - a_i|\le x$可知$a_i - x\le v \le a_i + x$
• 故对于a[i]，必然存在满足$|v - a_i|\le x$的区间[l,r]，l = a[i] - x, r = a[i] + x
• 设a[i + 1]的区间[l',r']，l = a[i + 1] - x, r = a[i + 1] + x
• 若[l,r]与[l',r']有公共区间时，v可以不用发生改变，并将区间更新为其公共区间
• 若[l,r]与[l',r']无公共区间时，v将发生改变，并将区间变为[l',r']
• 公共区间存在判断：max(l,l') <= min(r,r')说明存在公共区间

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代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
typedef long long LL;
 
void solve(){
 
    LL n, x;
 
    cin >> n >> x;
 
    LL cnt = 0;
 
    LL t;
    cin >> t;
 
    LL l = t - x, r = x + t;  //初始区间 
 
    for(int i = 1; i < n; i ++){
        LL y;
        cin >> y;
        LL p1 = y - x, p2 = y + x;
        if(max(p1,l) <= min(p2,r)){  //是否有公共区间 
            l = max(p1,l);  //更新公共区间左边界 
            r = min(p2,r);  //更新公共区间右边界 
        }
        else{
            cnt ++;  //不存在公共区间，需要变化一次 
            l = p1;  //重置区间 
            r = p2;
        }
 
    }
 
    cout << cnt << endl;
 
}
 
int main(){
 
    int _;
    cin >> _;
    while(_ --){
        solve();
    }
 
//  solve();
 
    return 0;
 
}

				

					
				
				

					
				
				

					
				
				

					
				
			

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C. Virus

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题目大意

Origional Link

• $1\sim N$的房屋围成一圈
• 给出初始感染病毒的房屋编号
• 每天可选择未感染的房屋进行保护，可使其永久不被感染
• 每天已感染的房屋其左右邻居都会受到感染
• 求最优策略下，最终感染的房屋数量

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思想

• 贪心
• 每次选择未感染的最长区间进行保护
• 对于被保护的区间[l,r]：
  • 经过第一天：
  • 保护[l,r]的一个端点，设保护a[l]
  • a[l]不会感染，a[r]会被感染
  • 其他所有未受到保护的区间[l',r']里，a[l']和a[r']被感染
  • 经过第二天：
  • 保护[l,r]的另一个端点a[r]，由于第一天a[r]被感染，故只能保护a[r - 1]
  • 其他所有未受到保护的区间[l',r']里，a[l' + 1]和a[r' - 1]被感染
  • 即对于选择保护的区间[l,r]，a[r]被感染，我们只能保护到[l,r - 1]这一段，且其余所有未受到保护的区间[l',r']里a[l'],a[r'],a[l' + 1],a[r' - 1]受到感染，感染后的区间变为[l' + 2, r' - 2]
• 综上可知，我们优先保护最长的未被感染的区间，即可实现最优策略
• 由于选择保护的区间端点可以任选，故只需要考虑区间长度，不需要维护额外的信息
• 注意不要忽略首尾相连的区间

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代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
void solve(){
 
    int n, m;
 
    cin >> n >> m;
 
    vector<int> vis;  //vis存储最先被感染的房屋编号 
 
    for(int i = 0; i < m; i ++){
        int x;
        cin >> x;
        vis.push_back(x);
    }
 
    sort(vis.begin(),vis.end());  //将编号从小到大排序 
 
    priority_queue<int> st;  //优先队列维护当前最大长度的区间 
 
    st.push(n - vis.back() + vis[0] - 1);  //将首尾相连的区间长度加入 
 
    for(int i = 0; i + 1 < vis.size(); i ++){
        st.push(vis[i + 1] - vis[i] - 1);  //将未感染的区间的长度加入 
    }
 
    int cnt = 0;  //存储未感染的区间长度 
 
    for(int i = 0; i + 1 > 0; i ++){  //i代表天数 
        if(!st.empty() && st.top() - i * 4 > 0){  //经过一天，下一个区间长度 -4 
            int k = st.top() - i * 4;  //设k为当前区间经过i天后未感染的区间长度 
            if(k > 1) k --;  //对于一个端点的保护，会使另一个端点被感染(长度-1)，若区间长度仅为1，则只能保护1长度 
            cnt += k;  //累计保护到的区间长度 
            st.pop();
        }
        else break;
    }
 
    cout << n - cnt << endl;  //区间总长 - 保护的区间长度 = 被感染的区间长度 = 被感染的房屋数量 
 
}
 
int main(){
 
    int _;
    cin >> _;
    while(_ --){
        solve();
    }
 
//  solve();
 
    return 0;
 
}

				

					
				
				

					
				
				

					
				
				

					
				
			

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D. Magical Array

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题目大意

Origional Link

• 对于一个长度为$m$的数组$b$，构造$n$个与$b$相同的的数组$c$
• 对于数组$c_t(1\le t \le n)$现有操作：
  • 操作1：首先将$c_t[i]=c_t[i]-1,c_t[j]=c_t[j]-1$，然后将$c_t[i-1]=c_t[i-1]+1,c_t[j+1]=c_t[j+1]+1$
  • 操作2：首先将$c_t[i]=c_t[i]-1,c_t[j]=c_t[j]-1$，然后将$c_t[i-1]=c_t[i-1]+1,c_t[j+2]=c_t[j+2]+1$
• 选择某一个数$k(1\le k \le n)$，使得$c_k$为特别数组
• 非特别数组$c_i(1\le i \le n,i \ne k)$只能执行操作1若干次
• 特别数组$c_k(1\le k \le n)$只能执行操作2若干次
• 给出这些操作后的数组$c$，找出其中的特别数组的编号$k$，及其执行了多少次操作2

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思想

$$对于c_t(1\le t \le n)\\\\ \begin{aligned} （一）\\\\ 对于&c_{i-1},c_i,c_j,c_{j+1}，可以得到c_{i−1}×(i−1)+c_i×i+c_j×j+c_{j+1}×(j+1)\\\\ &化简得：i×(c_{i−1}+c_i)+j×(c_j+c_{j+1})−c_{i−1}+c_{j+1}①\\\\ 对于&c_{i-1},c_i,c_j,c_{j+1}执行操作1：\\\\ &(c_{i−1}+1)×(i−1)+(c_i-1)×i+(c_j-1)×j+(c_{j+1}+1)×(j+1)\\\\ &化简得：i×(c_{i−1}+c_i)+j×(c_j+c_{j+1})−c_{i−1}+c_{j+1}②\\\\ &可知①=②，即操作1不会改变c_i\times i的和 \\\\ \end{aligned}\\\\ \begin{aligned} （二）\\\\ 对于&c_{i-1},c_i,c_j,c_{j+1},c_{j+2},可以得到c_{i−1}×(i−1)+c_i×i+c_j×j+c_{j+1}×(j+1)+c_{j+2}\times (j+2)\\\\ &化简得：i×(c_{i−1}+c_i)+j×(c_j+c_{j+1}+c_{j+2})−c_{i−1}+c_{j+1}+2\times c_{j+2}③\\\\ 对于&c_{i-1},c_i,c_j,c_{j+1},c_{j+2}执行操作2：\\\\ &(c_{i−1}+1)×(i−1)+(c_i-1)×i+(c_j-1)×j+c_{j+1}×(j+1)+(c_{j+2}+1)\times (j+2)\\\\ &化简得：i×(c_{i−1}+c_i)+j×(c_j+c_{j+1}+c_{j+2})−c_{i−1}+c_{j+1}+2\times c_{j+2}+1④\\\\ &可知③=④+1，即操作1会改变c_i\times i的和，使其加1\\\\ \end{aligned}\\\\ 综上可知：对每一个数组c，求S_f = \sum c_i\times i\\\\ 与其他数组c的S_f不同的数组即为特别数组，记为S_p\\\\ 其操作2的次数为S_p-S_f\\\\ $$

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代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
typedef long long LL;
 
void solve(){
 
    LL n, m;
 
    cin >> n >> m;
 
    LL S1 = -1, S2 = -1;  //S求c_i * i的和
    LL cnt1 = 0, cnt2 = 0;  //cnt记录S的数量
    LL p1, p2;  //存储第一次出现S的编号
 
    for(LL i = 1; i <= n; i ++){
 
        LL sum = 0;
 
        for(LL j = 1; j <= m; j ++){
            LL x;
            cin >> x;
            sum += x * j;
        }
 
        if(S1 == -1){
            S1 = sum;
            p1 = i;
        }
        else if(S1 != -1 && S2 == -1 && S1 != sum){
            S2 = sum;
            p2 = i;
        }
 
        if(S1 == sum) cnt1 ++;
        if(S2 == sum) cnt2 ++;
 
    }
 
    if(cnt1 > cnt2){
        cout << p2 << " " << S2 - S1 << endl;
    } 
    else cout << p1 << " " << S1 - S2 << endl;
 
}
 
int main(){
 
    LL _;
    cin >> _;
    while(_ --){
        solve();
    }
 
//  solve();
 
    return 0;
 
}

				

					
				
				

					
				
				

					
				
				

					
				
			

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后记

• $A$题一开始没找到规律，找到规律后居然没有把错思路的代码删掉，狠狠的吃WA的铁头娃
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• $B$题读懂题意就很简单了，没什么好说的，就是判断公共区间
• $C$题一直在想着怎么维护端点的信息，最后发现根本不需要，只要长度就行了QAQ
• $D$题没时间了，太抽象了也看不懂，补题看题解发现证明的想法实在是妙极了，根本想不到
• 最后还是没能上绿，我是废物
•