2022_HAUE_计算机学院暑期培训——扩展欧几里得算法
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1. 预习内容


1.1 阅读资料


1.2 练习题目


例题1 两个数的最大公约数

原题链接

描述

输入2个正整数a,b,求a与b的最大公约数。

输入

2个正整数a,b,中间用空格隔开。(1<=a,b <= 104)

输出

输出a与b的最大公约数。

样例输入

6 15

样例输出

3

代码 1

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){

    int a, b;

    cin >> a >> b;

    int flag = 1;

    for(int i = 2; i <= min(a,b); i++){
        if(a % i == 0 && b % i == 0) flag = max(flag,i);
    }

    cout << flag << "\n";

    return 0;

}

代码 2

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int gcd(int a, int b){
    return b ? gcd(b,a%b) : a;
}

int main(){

    int a, b;

    cin >> a >> b;

    cout << gcd(a,b) << "\n";

    return 0;

}

2. 课程内容


2.1 数论简介


数学题在算法竞赛中经常出现,在竞赛中经常把数学模型和其他算法结合起来,出综合性的题目。

分类

  • 整除性问题:整除、最大公约数、最大公倍数;欧几里得算法、扩展欧几里得算法
  • 公式计算:高精度计算、概率和数学期望
  • 素数问题:素数判定、筛法、区间素数统计。
  • 同余问题:模运算、同余方程、快速幂、中国剩余定理、逆元、整数分解、同余定理、不定方程。
  • 积性函数:欧拉函数、伪随机数、莫比乌斯反演。
  • 多项式与生成函数:快速傅里叶变换、普通生成函数、指数生成函数。
  • 递推关系:Fibonacci数列、Stirling数、Catalan数。
  • 群论:Polya定理。
  • 线性规划:单纯形法。
  • 线性代数:矩阵、高斯消元。
  • 博弈论:公平组合游戏、非公平组合游戏。
  • 排列组合:容斥原理、抽屉原理、康托展开、排列生成、组合生成

特点

  • 涉及大量数学定理、数学模型和公式计算,综合程度高
  • 需要将题目抽象出其数学模型,或根据条件推理出规律进行求解

2.2 欧几里得算法


1. 简介与证明


概念

  • 最大公约数指两个或多个整数共有约(因)数中最大的数
  • 最小公倍数指两个或多个整数的公倍数里最小的数
  • 欧几里得算法:又称辗转相除法,用于计算两个非负整数 $a$ 和 $b$ 的最大公约数

思想

  • 辗转相除法求最大公约数

    求100和18的最大公约数?

  • \begin{aligned} &1.令a_0=100,b_0=18\\\\ &\lfloor \frac{a_0}{b_0} \rfloor = 5,a_0-\lfloor \frac{a_0}{b_0} \rfloor\times b_0 = 10\\\\ &2.令a_1=b_0=18,b_1=a_0~mod~b_0=10\\\\ &\lfloor \frac{a_1}{b_1} \rfloor = 1,a_1-\lfloor \frac{a_1}{b_1} \rfloor\times b_1 = 8\\\\ &3.令a_2=b_1=10,b_2=a_1~mod~b_1=8\\\\ &\lfloor \frac{a_2}{b_2} \rfloor = 1,a_2-\lfloor \frac{a_2}{b_2} \rfloor\times b_2 = 2\\\\ &4.令a_3=b_2=8,b_3=a_2~mod~b_2=2\\\\ &\lfloor \frac{a_3}{b_3} \rfloor = 0,a_3-\lfloor \frac{a_3}{b_3} \rfloor\times b_3 = 4\\\\ &即最大公约数为b_3=2 \end{aligned}

    求 100 和18 两个正整数的最大公约数,用欧几里得算法,是这样进行的:
    100 / 18 = 5 (余 10) 100%8=10
    18 / 10= 1(余8) 18%10=8
    10 / 8 = 1(余2) 10%8=2
    8 / 2 = 4 (余0) 8%2=0
    至此,最大公约数为2
    以除数和余数反复做除法运算,当余数为 0 时,取当前算式除数为最大公约数,所以就得出了 100 和 18 的最大公约数2。

  • 求$N$和$M$的最小公倍数$lcm(N,M)$,则先求$N$和$M$的最大公约数$gcd(N,M)$,然后$\frac{N\times M}{gcd(N,M)}$则为最小公倍数。


2. 算法模板


//最大公约数
int gcd(int a, int b){
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

//最小公倍数
int lcm(int a,int b){
    return a / gcd(a,b) * b;
}

3. 最大公约数

原题链接

描述
输入两个正整数a、b,求a、b的最大公约数。要求采用递归函数实现。

输入

输入两个正整数a、b。

输出

输出a、b的最大公约数。

20 15

样例输出

样例输出

5

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int gcd(int a, int b){
    return b ? gcd(b,a % b) : a;
}

int main(){

    int a, b;

    cin >> a >> b;

    cout << gcd(a,b) << "\n";

    return 0;

}

4. 多个数的最小公倍数

原题链接

题目描述
输入n个数,请计算它们的最小公倍数。如5、7、15的最小公倍数是105。

输入
首先输入一个正整数T,表示测试数据的组数,然后是T组的测试数据。
每组测试先输入一个整数n(2<=n<=20),再输入n个正整数(n属于[1,100000]),这里保证最终的结果在int型范围内。

输出
对于每组测试,输出n个整数的最小公倍数。

样例输入

2
3 5 7 15
5 1 2 4 3 5

样例输出

105
60

分析

  • 求多个数的最小公倍数,可以两两相求

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int gcd(int a,int b){
    return b ? gcd(b,a % b) : a;
}

int lcm(int a,int b){
    return a / gcd(a,b) * b;
}

void solve(){

    int n;

    cin >> n;

    int t;

    cin >> t;

    for(int i = 2; i <= n ; i++){
        int x;
        cin >> x;

        t = lcm(t,x);

        if(i == n) cout << t << '\n';

    }

}

int main(){

    int _;

    cin >> _;

    while(_--){
        solve();
    }

    return 0;

}

2.3 扩展欧几里得算法


1. 简介与证明


作用

  • 求形如$ax+by=gcd(a,b)$的方程的解$x,y$

思想

  • 欧几里得算法:$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$,特别的$gcd(a,0)=a$

  • 裴蜀定理:对于任意正整数$a,b$,一定存在非零的$x,y$,使得$ax+by=gcd(a,b)$

  • \begin{cases} b=0时:\begin{cases} gcd(a,b)=a\\ax+by=gcd(a,b)\\ \end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases} \\ \\ \\ \\ \\ b\neq0时: \begin{cases} \begin{aligned} ①&设~ax+by=gcd(a,b)=d\\\\ &\because 由欧几里得算法可知:gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)=d\\\\ &\therefore 由裴蜀定理得:b{x}'+(a\%b){y}'=d\\\\ 又&\because ax+by=d\\\\ &\therefore联立 \begin{cases} ax+by=d\\b{x}'+(a\%b){y}'=d\\a\%b=a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor b \end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x={y}'\\y={x}'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor{y}'\end{cases}\\\\ ②&设{a}'=b,{b}'=a\%b\\\\ &\therefore gcd(b,a\%b)=gcd({a}',{b}')=d\\\\ &\because gcd({a}',{b}')=gcd({b}',{a}'\%{b}')=d\\\\ &\therefore {b}'{x}''+{a}'\%{b}'{y}''=d\\\\ 又&\because b{x}'+(a\%b){y}'=d\\\\ &\therefore联立\begin{cases} b{x}'+(a\%b){y}'=d\\{b}'{x}''+{a}'\%{b}'{y}''=d\\{a}'\%{b}'={a}'-\lfloor\frac{{a}'}{{b}'}\rfloor{b}' \end{cases}\Rightarrow\begin{cases}{x}'={y}''\\{y}'={x}''-\lfloor\frac{{a}'}{{b}'}\rfloor{y}'' \end{cases}\\\\ ③&设{a}''={b}',{b}''={a}'\%{b}'\\\\ &\dots\\ &\dots\\ &直到b=0时,联立解得\begin{cases}{x}^i=1\\{y}^i=0\end{cases}\\\\ &然后逐步返回每一次联立所得的结果\begin{cases}{x}^{i-1}={y}^{i}\\{y}^{i-1}={x}^{i}-\lfloor\frac{{a}^{i}}{{b}^i}\rfloor{y}^{i} &最后返回得到x和y的值 \end{cases}\\ \end{aligned} \end{cases} \end{cases}

注意

  • 当方程符合$ax+by=gcd(a,b)$的形式时,才可以用扩展欧几里得算法求解$(x_0,y_0)$

  • 推论:可以进一步求解任意方程$ax+by=n$,得到一个整数解

  • \begin{aligned} \begin{cases} &(1)~~判断方程ax+by=n是否有整数解,有解的条件为:gcd(a,b)可以整除n\\\\ &(2)~~用扩展欧几里得算法求ax+by=gcd(a,b)得到一个解(x_0,y_0)\\\\ &(3)~~在ax_0+by_0=gcd(a,b)两边同时乘\frac{n}{gcd(a,b)}\Rightarrow\frac{ax_0n}{gcd(a,b)}+\frac{by_0n}{gcd(a,b)}=n\\\\ &(4)~~对照ax+by=n可知该方程的一个解为({x}',{y}'),其中\begin{cases}{x}'=\frac{x_0n}{gcd(a,b)}\\\\{y}'=\frac{y_0n}{gcd(a,b)} \end{cases} \end{cases} \end{aligned}

2. 算法模板


void exgcd(int a, int b, int &x, int &y){

    if(!b){  //若b=0时
        x = 1,y = 0;
        return ;
    }
    else{  //b!=0时
        exgcd(b, a % b, x, y);  //递归到下一层
        int t = x;  //返回时执行
        x = y;
        y = t - a / b * y;
    }

}

3. 解ax+by=gcd(a,b)方程

原题链接

描述

给定$n$对正整数 $a_i,b_i$,对于每对数,求出一组 $x_i,y_i$,使其满足 $a_i×x_i+b_i×y_i=gcd(a_i,b_i)$。

输入格式
第一行包含整数 $n$。

接下来 $n$ 行,每行包含两个整数 $a_i,b_i$。

输出格式
输出共 $n$ 行,对于每组$a_i,b_i$,求出一组满足条件的 $x_i,y_i$,每组结果占一行。

本题答案不唯一,输出任意满足条件的 $x_i,y_i$ 均可。

数据范围
$1≤n≤105,$
$1≤a_i,b_i≤2×10^9$
输入样例:

2
4 6
8 18

输出样例:

-1 1
-2 1

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){

    if(!b){x=1,y=0;
        return ;}
    else{

        exgcd(b,a%b,x,y);
        int t=x;
        x=y;
        y=t-a/b*y;
    }

}

int main(){

    int n;

    cin>>n;

    while(n--){

        int a,b,x,y;

        cin>>a>>b;

        exgcd(a,b,x,y);

        cout<<x<<" "<<y<<endl;

    }

    return 0;

}

4. 解一元线性同余方程


概念

  • $ax\equiv b(mod~m)$,即$\frac{ax}{m}$与$\frac{b}{m}$的余数相同,且$a,b,m$为整数,求$x$的值
  • 该方程即为一元线性同余方程

思想

  • 对$ax\equiv b(mod~m)$做等价变形:$ax+my=b$

  • \begin{aligned} &\because &ax&\equiv b(mod~m)\\\\ &\therefore &ax\%m&=k(b\%m),(k\in \Z)\\\\ &\therefore &ax-\lfloor\frac{ax}{m}\rfloor m&=k(b-\lfloor\frac{b}{m}\rfloor m)\\\\ &\therefore &ax-kb&=(\lfloor\frac{ax}{m}\rfloor-k\lfloor\frac{b}{m}\rfloor)m\\\\ &\because &\lfloor\frac{ax}{m}\rfloor,&\lfloor\frac{b}{m}\rfloor,k\in \Z\\\\ &\therefore &(\lfloor\frac{ax}{m}\rfloor&-k\lfloor\frac{b}{m}\rfloor)\in \Z\\\\ &&设(\lfloor\frac{ax}{m}\rfloor&-k\lfloor\frac{b}{m}\rfloor)=y,(y\in \Z)\\\\ &\therefore &ax-kb&=my\Rightarrow ax-my=b\\\\ 又&\because &y&可以为负数\\\\ &\therefore &ax\equiv b(mod~&m)\leftrightarrow ax+my=b \end{aligned}
  • 由扩展欧几里得算法的推论可知:当且仅当$ gcd(a,m)$可以整除$b$时,$ax+my=b$存在整数解

  • 由扩展欧几里得算法可知: \begin{cases} 当gcd(a,m)=b时:\begin{cases}x=x_0\\y=y_0\end{cases}\\\\ 当gcd(a,m)为b的整数倍时:\begin{cases}{x}'=\frac{x_0b}{gcd(a,m)}\\{y}'=\frac{y_0b}{gcd(a,m)}\end{cases} \end{cases}

例题 878. 线性同余方程

原题链接

描述

给定 $n$ 组数据 $a_i,b_i,m_i$,对于每组数求出一个 $x_i$,使其满足 $a_i×x_i≡b_i(mod~m_i)$,如果无解则输出 impossible

输入格式
第一行包含整数 $n$。

接下来 $n $行,每行包含一组数据 $a_i,b_i,m_i$。

输出格式
输出共 $n$ 行,每组数据输出一个整数表示一个满足条件的 $x_i$,如果无解则输出 impossible

每组数据结果占一行,结果可能不唯一,输出任意一个满足条件的结果均可。

输出答案必须在 int 范围之内。

数据范围
$1≤n≤105$,
$1≤a_i,b_i,m_i≤2×10^9$

2
2 3 6
4 3 5

输出样例:

输出样例:

impossible
-3

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

LL gcd(LL a,LL b){
    return b ? gcd(b,a % b) : a;
}

void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){

    if(!b){  //若b=0时
        x=1,y=0;
        return ;
    }
    else{
        exgcd(b,a%b,x,y);
        LL t=x;
        x=y;
        y=t-a/b*y;
    }

}

int main(){

    int n;

    cin>>n;

    while(n--){

        LL a,b,m,x,y;

        cin>>a>>b>>m;

        LL d=gcd(a,m);

        exgcd(a,m,x,y);

        if(b%d) cout<<"impossible"<<endl;
        else cout<<b/d*x%m<<endl;

    }

    return 0;

}

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