1. 预习内容
1.1 阅读资料
1.2 练习题目
例题1 两个数的最大公约数
描述
输入2个正整数a，b，求a与b的最大公约数。
输入
2个正整数a，b，中间用空格隔开。(1<=a,b <= 104)
输出
输出a与b的最大公约数。
样例输入
6 15样例输出
3代码 1
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
int a, b;
cin >> a >> b;
int flag = 1;
for(int i = 2; i <= min(a,b); i++){
if(a % i == 0 && b % i == 0) flag = max(flag,i);
}
cout << flag << "\n";
return 0;
}代码 2
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int gcd(int a, int b){
return b ? gcd(b,a%b) : a;
}
int main(){
int a, b;
cin >> a >> b;
cout << gcd(a,b) << "\n";
return 0;
}2. 课程内容
2.1 数论简介
数学题在算法竞赛中经常出现，在竞赛中经常把数学模型和其他算法结合起来，出综合性的题目。
分类：
- 整除性问题:整除、最大公约数、最大公倍数;欧几里得算法、扩展欧几里得算法。
- 公式计算：高精度计算、概率和数学期望
- 素数问题:素数判定、筛法、区间素数统计。
- 同余问题:模运算、同余方程、快速幂、中国剩余定理、逆元、整数分解、同余定理、不定方程。
- 积性函数:欧拉函数、伪随机数、莫比乌斯反演。
- 多项式与生成函数：快速傅里叶变换、普通生成函数、指数生成函数。
- 递推关系:Fibonacci数列、Stirling数、Catalan数。
- 群论:Polya定理。
- 线性规划:单纯形法。
- 线性代数：矩阵、高斯消元。
- 博弈论：公平组合游戏、非公平组合游戏。
- 排列组合:容斥原理、抽屉原理、康托展开、排列生成、组合生成
特点
- 涉及大量数学定理、数学模型和公式计算，综合程度高
- 需要将题目抽象出其数学模型，或根据条件推理出规律进行求解
2.2 欧几里得算法
1. 简介与证明
概念
思想
-
辗转相除法求最大公约数
求100和18的最大公约数？
-
\begin{aligned}
&1.令a_0=100，b_0=18\\\\
&\lfloor \frac{a_0}{b_0} \rfloor = 5，a_0-\lfloor \frac{a_0}{b_0} \rfloor\times b_0 = 10\\\\
&2.令a_1=b_0=18，b_1=a_0~mod~b_0=10\\\\
&\lfloor \frac{a_1}{b_1} \rfloor = 1，a_1-\lfloor \frac{a_1}{b_1} \rfloor\times b_1 = 8\\\\
&3.令a_2=b_1=10，b_2=a_1~mod~b_1=8\\\\
&\lfloor \frac{a_2}{b_2} \rfloor = 1，a_2-\lfloor \frac{a_2}{b_2} \rfloor\times b_2 = 2\\\\
&4.令a_3=b_2=8，b_3=a_2~mod~b_2=2\\\\
&\lfloor \frac{a_3}{b_3} \rfloor = 0，a_3-\lfloor \frac{a_3}{b_3} \rfloor\times b_3 = 4\\\\
&即最大公约数为b_3=2
\end{aligned}
求 100 和18 两个正整数的最大公约数,用欧几里得算法，是这样进行的：
100 / 18 = 5 (余 10) 100%8=10
18 / 10= 1(余8) 18%10=8
10 / 8 = 1(余2) 10%8=2
8 / 2 = 4 (余0) 8%2=0
至此，最大公约数为2
以除数和余数反复做除法运算，当余数为 0 时，取当前算式除数为最大公约数，所以就得出了 100 和 18 的最大公约数2。 -
求$N$和$M$的最小公倍数$lcm(N,M)$，则先求$N$和$M$的最大公约数$gcd(N,M)$，然后$\frac{N\times M}{gcd(N,M)}$则为最小公倍数。
2. 算法模板
//最大公约数
int gcd(int a, int b){
return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
//最小公倍数
int lcm(int a,int b){
return a / gcd(a,b) * b;
}3. 最大公约数
描述
输入两个正整数a、b，求a、b的最大公约数。要求采用递归函数实现。
输入
输入两个正整数a、b。
输出
输出a、b的最大公约数。
20 15样例输出
样例输出
5代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int gcd(int a, int b){
return b ? gcd(b,a % b) : a;
}
int main(){
int a, b;
cin >> a >> b;
cout << gcd(a,b) << "\n";
return 0;
}4. 多个数的最小公倍数
题目描述
输入n个数，请计算它们的最小公倍数。如5、7、15的最小公倍数是105。
输入
首先输入一个正整数T,表示测试数据的组数，然后是T组的测试数据。
每组测试先输入一个整数n（2<=n<=20),再输入n个正整数（n属于[1,100000]),这里保证最终的结果在int型范围内。
输出
对于每组测试，输出n个整数的最小公倍数。
样例输入
2
3 5 7 15
5 1 2 4 3 5样例输出
105
60分析
- 求多个数的最小公倍数，可以两两相求
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int gcd(int a,int b){
return b ? gcd(b,a % b) : a;
}
int lcm(int a,int b){
return a / gcd(a,b) * b;
}
void solve(){
int n;
cin >> n;
int t;
cin >> t;
for(int i = 2; i <= n ; i++){
int x;
cin >> x;
t = lcm(t,x);
if(i == n) cout << t << '\n';
}
}
int main(){
int _;
cin >> _;
while(_--){
solve();
}
return 0;
}2.3 扩展欧几里得算法
1. 简介与证明
作用
- 求形如$ax+by=gcd(a,b)$的方程的解$x,y$
思想
-
欧几里得算法：$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$，特别的$gcd(a,0)=a$
-
裴蜀定理：对于任意正整数$a,b$，一定存在非零的$x,y$，使得$ax+by=gcd(a,b)$
- \begin{cases} b=0时:\begin{cases} gcd(a,b)=a\\ax+by=gcd(a,b)\\ \end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases} \\ \\ \\ \\ \\ b\neq0时： \begin{cases} \begin{aligned} ①&设~ax+by=gcd(a,b)=d\\\\ &\because 由欧几里得算法可知：gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)=d\\\\ &\therefore 由裴蜀定理得：b{x}'+(a\%b){y}'=d\\\\ 又&\because ax+by=d\\\\ &\therefore联立 \begin{cases} ax+by=d\\b{x}'+(a\%b){y}'=d\\a\%b=a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor b \end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x={y}'\\y={x}'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor{y}'\end{cases}\\\\ ②&设{a}'=b,{b}'=a\%b\\\\ &\therefore gcd(b,a\%b)=gcd({a}',{b}')=d\\\\ &\because gcd({a}',{b}')=gcd({b}',{a}'\%{b}')=d\\\\ &\therefore {b}'{x}''+{a}'\%{b}'{y}''=d\\\\ 又&\because b{x}'+(a\%b){y}'=d\\\\ &\therefore联立\begin{cases} b{x}'+(a\%b){y}'=d\\{b}'{x}''+{a}'\%{b}'{y}''=d\\{a}'\%{b}'={a}'-\lfloor\frac{{a}'}{{b}'}\rfloor{b}' \end{cases}\Rightarrow\begin{cases}{x}'={y}''\\{y}'={x}''-\lfloor\frac{{a}'}{{b}'}\rfloor{y}'' \end{cases}\\\\ ③&设{a}''={b}',{b}''={a}'\%{b}'\\\\ &\dots\\ &\dots\\ &直到b=0时，联立解得\begin{cases}{x}^i=1\\{y}^i=0\end{cases}\\\\ &然后逐步返回每一次联立所得的结果\begin{cases}{x}^{i-1}={y}^{i}\\{y}^{i-1}={x}^{i}-\lfloor\frac{{a}^{i}}{{b}^i}\rfloor{y}^{i} &最后返回得到x和y的值 \end{cases}\\ \end{aligned} \end{cases} \end{cases}
注意
-
当方程符合$ax+by=gcd(a,b)$的形式时，才可以用扩展欧几里得算法求解$(x_0,y_0)$
-
推论：可以进一步求解任意方程$ax+by=n$，得到一个整数解
- \begin{aligned} \begin{cases} &(1)~~判断方程ax+by=n是否有整数解，有解的条件为：gcd(a,b)可以整除n\\\\ &(2)~~用扩展欧几里得算法求ax+by=gcd(a,b)得到一个解(x_0,y_0)\\\\ &(3)~~在ax_0+by_0=gcd(a,b)两边同时乘\frac{n}{gcd(a,b)}\Rightarrow\frac{ax_0n}{gcd(a,b)}+\frac{by_0n}{gcd(a,b)}=n\\\\ &(4)~~对照ax+by=n可知该方程的一个解为({x}',{y}')，其中\begin{cases}{x}'=\frac{x_0n}{gcd(a,b)}\\\\{y}'=\frac{y_0n}{gcd(a,b)} \end{cases} \end{cases} \end{aligned}
2. 算法模板
void exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
if(!b){ //若b=0时
x = 1,y = 0;
return ;
}
else{ //b!=0时
exgcd(b, a % b, x, y); //递归到下一层
int t = x; //返回时执行
x = y;
y = t - a / b * y;
}
}3. 解ax+by=gcd(a,b)方程
描述
给定$n$对正整数 $a_i,b_i$，对于每对数，求出一组 $x_i,y_i$，使其满足 $a_i×x_i+b_i×y_i=gcd(a_i,b_i)$。
输入格式
第一行包含整数 $n$。
接下来 $n$ 行，每行包含两个整数 $a_i,b_i$。
输出格式
输出共 $n$ 行，对于每组$a_i,b_i$，求出一组满足条件的 $x_i,y_i$，每组结果占一行。
本题答案不唯一，输出任意满足条件的 $x_i,y_i$ 均可。
数据范围
$1≤n≤105,$
$1≤a_i,b_i≤2×10^9$
输入样例：
2
4 6
8 18输出样例：
-1 1
-2 1代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(!b){x=1,y=0;
return ;}
else{
exgcd(b,a%b,x,y);
int t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
}
}
int main(){
int n;
cin>>n;
while(n--){
int a,b,x,y;
cin>>a>>b;
exgcd(a,b,x,y);
cout<<x<<" "<<y<<endl;
}
return 0;
}4. 解一元线性同余方程
概念
- $ax\equiv b(mod~m)$，即$\frac{ax}{m}$与$\frac{b}{m}$的余数相同，且$a,b,m$为整数，求$x$的值
- 该方程即为一元线性同余方程
思想
-
对$ax\equiv b(mod~m)$做等价变形：$ax+my=b$
- \begin{aligned} &\because &ax&\equiv b(mod~m)\\\\ &\therefore &ax\%m&=k(b\%m),(k\in \Z)\\\\ &\therefore &ax-\lfloor\frac{ax}{m}\rfloor m&=k(b-\lfloor\frac{b}{m}\rfloor m)\\\\ &\therefore &ax-kb&=(\lfloor\frac{ax}{m}\rfloor-k\lfloor\frac{b}{m}\rfloor)m\\\\ &\because &\lfloor\frac{ax}{m}\rfloor,&\lfloor\frac{b}{m}\rfloor,k\in \Z\\\\ &\therefore &(\lfloor\frac{ax}{m}\rfloor&-k\lfloor\frac{b}{m}\rfloor)\in \Z\\\\ &&设(\lfloor\frac{ax}{m}\rfloor&-k\lfloor\frac{b}{m}\rfloor)=y,(y\in \Z)\\\\ &\therefore &ax-kb&=my\Rightarrow ax-my=b\\\\ 又&\because &y&可以为负数\\\\ &\therefore &ax\equiv b(mod~&m)\leftrightarrow ax+my=b \end{aligned}
-
由扩展欧几里得算法的推论可知：当且仅当$ gcd(a,m)$可以整除$b$时，$ax+my=b$存在整数解
- 由扩展欧几里得算法可知： \begin{cases} 当gcd(a,m)=b时：\begin{cases}x=x_0\\y=y_0\end{cases}\\\\ 当gcd(a,m)为b的整数倍时：\begin{cases}{x}'=\frac{x_0b}{gcd(a,m)}\\{y}'=\frac{y_0b}{gcd(a,m)}\end{cases} \end{cases}
例题 878. 线性同余方程
描述
给定 $n$ 组数据 $a_i,b_i,m_i$，对于每组数求出一个 $x_i$，使其满足 $a_i×x_i≡b_i(mod~m_i)$，如果无解则输出 impossible。
输入格式
第一行包含整数 $n$。
接下来 $n $行，每行包含一组数据 $a_i,b_i,m_i$。
输出格式
输出共 $n$ 行，每组数据输出一个整数表示一个满足条件的 $x_i$，如果无解则输出 impossible。
每组数据结果占一行，结果可能不唯一，输出任意一个满足条件的结果均可。
输出答案必须在 int 范围之内。
数据范围
$1≤n≤105$,
$1≤a_i,b_i,m_i≤2×10^9$
2
2 3 6
4 3 5输出样例：
输出样例：
impossible
-3代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL gcd(LL a,LL b){
return b ? gcd(b,a % b) : a;
}
void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
if(!b){ //若b=0时
x=1,y=0;
return ;
}
else{
exgcd(b,a%b,x,y);
LL t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
}
}
int main(){
int n;
cin>>n;
while(n--){
LL a,b,m,x,y;
cin>>a>>b>>m;
LL d=gcd(a,m);
exgcd(a,m,x,y);
if(b%d) cout<<"impossible"<<endl;
else cout<<b/d*x%m<<endl;
}
return 0;
}