例题 843. n-皇后问题

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描述

n−皇后问题是指将 n 个皇后放在 n×n 的国际象棋棋盘上，使得皇后不能相互攻击到，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。

现在给定整数 n，请你输出所有的满足条件的棋子摆法。

输入格式
共一行，包含整数 n。

输出格式
每个解决方案占 n 行，每行输出一个长度为 n 的字符串，用来表示完整的棋盘状态。

其中 . 表示某一个位置的方格状态为空，Q 表示某一个位置的方格上摆着皇后。

每个方案输出完成后，输出一个空行。

注意：输出顺序要按照样例的规律

数据范围
1≤n≤9
输入样例：

4

输出样例：

.Q..
...Q
Q...
..Q.

..Q.
Q...
...Q
.Q..

分析

• 由于皇后不能互相攻击到，故棋盘的每一行，每一列及其有皇后存在的对角线的平行线上有且只有一个皇后
• 递归处理，每一次递视为一次对棋子的判断，递归的层数视为棋盘的层数，每一层选择放置一个皇后
• 对于递归的每一层，遍历这层棋盘的格子，判断以该格子的列和对角线的平行线上是否存在过皇后
• 若放置皇后，则需要对放置的格子所在的列和对角线的平行线进行标记，并将其记录在答案数组中
• 递归处理上述过程，直到将皇后放置完毕，此时遍历答案数组输出一次排列
• 对于对角线的处理，我们 可以利用数学关系，转换为截距进行标记k = i + u或k = i - u

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=100;

int n;

char mp[N][N];  //当前棋盘的状态

bool y[N],l[N],r[N];  //标记是否存在过皇后

void dfs(int u){

    if(u==n+1){  //当u=n+1时说明第n层的棋盘已经放置完毕，输出一次可能性

        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                cout<<mp[i][j];
            }
            cout<<endl;
        }
        cout<<endl;
        return ;
    }

    for(int i=1;i<=n;i++){

        if(!y[i]&&!l[u-i+n]&&!r[u+i+n]){  //若该点所在的列及其所在的对角线的平行线不曾出现过皇后
            y[i]=l[u-i+n]=r[u+i+n]=1;  //标记
            mp[u][i]='Q';  //放置皇后
            dfs(u+1);  //递归到下一层
            mp[u][i]='.';  //回溯
            y[i]=l[u-i+n]=r[u+i+n]=0;
        }

    }

}

int main(){

    cin>>n;

    for(int i=1;i<=n;i++){  //初始化
        for(int j=1;j<=n;j++){
            mp[i][j]='.';
        }
    }

    dfs(1);

    return 0;

}